变分自编码器 | VAE¶

变分自编码器（Variational Autoencoder，VAE）¹是一种无监督的生成式模型

第一次接触时还是它的“简化版”——自动编码器（Autoencoder， AE）²，当时对隐空间（latent space）相关概念不是很清晰，后来在ML选修课复现论文时也选择了一篇应用了latent space的工作³，对相关的知识也更加感兴趣

题外话¶

一开始写这篇文章的时候，脑子里总是想着原理如何如何，问题如何如何，数学分析如何如何。后来发现没有相应数理知识打底，实在是很难推进，但确确实实又有收获的实感，陷入纠结

后来醒悟过来了，在没有基础的情况下，过渡纠结数理原理，优化方法属于单纯自耗；但从机器学习以及模型设计的角度，依旧能有很多收获可以总结

于是便有了本文主要展现的内容，基本是个人的心得体会；毕竟你要看数学推导，网上资源一大堆，我应该有自己的东西才行

个人总结¶

总览¶

VAE是无监督的生成式模型，采取了encoder-decoder架构。它与一众自编码器工作的不同在于，VAE将样本输入映射到具有普遍性的分布上（如正态分布）而非自编码器将样本输入映射到低维度的向量空间上，这意味着VAE的隐空间维度甚至能比输入样本维度更高

模型¶

encoder与decoder层大部分情况都是基于DNN实现的，因为它们难以建模

在隐空间层，因为VAE引入了起到正则化作用的KL散度，我们需要从encoder层的结果中显式“表现”出能够表示隐空间分布的特征量，在VAE假设标准正态分布的情形下，便是均值 \(\mu\) 与方差 \(\sigma^2\)

如果隐空间维度为 \(d\)，将得到 \(d\) 个隐分布，即 \(d\) 对特征量：

\[ \{(\mu_1,\sigma^2_1),(\mu_2,\sigma^2_2),···,(\mu_d,\sigma^2_d)\} \]

为此VAE直接将encoder层设计为同步的两层：均值层与方差层。用以分别计算均值与方差，并通过KL散度进行约束

但这又带来一个问题：如何让现有的encoder层结果参与后续的重建过程（decoder层）呢？

VAE设计了一个很神奇的操作，在论文中被称作“重参数技巧（reparameterization trick）”。简单来说，就是模拟采样：从 \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) 中采样一个 \(Z\)，等同于从 \(\mathcal{N}(0, I)\) 中采样一个 \(\epsilon\)，并使 \(Z=\mu + \sigma \times \epsilon\)

于是隐变量 \(Z\) 得到，我们便能送入decoder层进行重建过程了

策略¶

VAE的策略很直观，主要为两点：

传统AE目标：重建样本数据，引入重构损失
让隐空间分布更具普遍性：假设标准正态分布，引入KL散度

这也解释了为什么需要单独设计并行的均值层与方差层，因为必须显式定义并计算KL散度

其实以更宽泛的视角来看，引入KL散度等同于对隐空间变量分布进行正则，如果隐空间分布真有某种“模式”可以学习，我们是否可以设计其他的策略对其进行约束，甚至，动态更新这种约束策略？

代码实现¶

这里给出苏神的代码，基于keras：

感觉keras比pytorch好用（碎碎念

Python

from __future__ import print_function

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

from keras.layers import Input, Dense, Lambda
from keras.models import Model
from keras import backend as K
from keras.datasets import mnist


batch_size = 100
original_dim = 784
latent_dim = 2 # 隐变量取2维只是为了方便后面画图
intermediate_dim = 256
epochs = 50


# 加载MNIST数据集
(x_train, y_train_), (x_test, y_test_) = mnist.load_data()
x_train = x_train.astype('float32') / 255.
x_test = x_test.astype('float32') / 255.
x_train = x_train.reshape((len(x_train), np.prod(x_train.shape[1:])))
x_test = x_test.reshape((len(x_test), np.prod(x_test.shape[1:])))


x = Input(shape=(original_dim,))
h = Dense(intermediate_dim, activation='relu')(x)

# 算p(Z|X)的均值和方差
z_mean = Dense(latent_dim)(h)
z_log_var = Dense(latent_dim)(h)

# 重参数技巧
def sampling(args):
    z_mean, z_log_var = args
    epsilon = K.random_normal(shape=K.shape(z_mean))
    return z_mean + K.exp(z_log_var / 2) * epsilon

# 重参数层，相当于给输入加入噪声
z = Lambda(sampling, output_shape=(latent_dim,))([z_mean, z_log_var])

# 解码层，也就是生成器部分
decoder_h = Dense(intermediate_dim, activation='relu')
decoder_mean = Dense(original_dim, activation='sigmoid')
h_decoded = decoder_h(z)
x_decoded_mean = decoder_mean(h_decoded)

# 建立模型
vae = Model(x, x_decoded_mean)

# xent_loss是重构loss，kl_loss是KL loss
xent_loss = K.sum(K.binary_crossentropy(x, x_decoded_mean), axis=-1)
kl_loss = - 0.5 * K.sum(1 + z_log_var - K.square(z_mean) - K.exp(z_log_var), axis=-1)
vae_loss = K.mean(xent_loss + kl_loss)

# add_loss是新增的方法，用于更灵活地添加各种loss
vae.add_loss(vae_loss)
vae.compile(optimizer='rmsprop')
vae.summary()

vae.fit(x_train,
        shuffle=True,
        epochs=epochs,
        batch_size=batch_size,
        validation_data=(x_test, None))


# 构建encoder，然后观察各个数字在隐空间的分布
encoder = Model(x, z_mean)

x_test_encoded = encoder.predict(x_test, batch_size=batch_size)
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.scatter(x_test_encoded[:, 0], x_test_encoded[:, 1], c=y_test_)
plt.colorbar()
plt.show()

# 构建生成器
decoder_input = Input(shape=(latent_dim,))
_h_decoded = decoder_h(decoder_input)
_x_decoded_mean = decoder_mean(_h_decoded)
generator = Model(decoder_input, _x_decoded_mean)

# 观察隐变量的两个维度变化是如何影响输出结果的
n = 15  # figure with 15x15 digits
digit_size = 28
figure = np.zeros((digit_size * n, digit_size * n))

#用正态分布的分位数来构建隐变量对
grid_x = norm.ppf(np.linspace(0.05, 0.95, n))
grid_y = norm.ppf(np.linspace(0.05, 0.95, n))

for i, yi in enumerate(grid_x):
    for j, xi in enumerate(grid_y):
        z_sample = np.array([[xi, yi]])
        x_decoded = generator.predict(z_sample)
        digit = x_decoded[0].reshape(digit_size, digit_size)
        figure[i * digit_size: (i + 1) * digit_size,
               j * digit_size: (j + 1) * digit_size] = digit

plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.imshow(figure, cmap='Greys_r')
plt.show()

Kingma D P, Welling M. Auto-encoding variational bayes[J]. arXiv preprint arXiv:1312.6114, 2013. ↩
Hinton G E, Salakhutdinov R R. Reducing the dimensionality of data with neural networks[J]. science, 2006, 313(5786): 504-507. ↩
Yeh C K, Wu W C, Ko W J, et al. Learning deep latent space for multi-label classification[C]//Proceedings of the AAAI conference on artificial intelligence. 2017, 31(1). ↩

最后更新: 2023-04-14
创建日期: 2023-04-13

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